Liczby, liczby, liczby ... są doskonałe

W tym poście postaram się Wam przybliżyć temat liczb doskonałych. Otrzymując wynik celujący na klasówce z matematyki potocznie mówimy, że otrzymaliśmy 6 – doskonały wynik. Czyżby jednak zbiór liczb doskonałych zaczynał się i zamykał jednocześnie liczbą 6? Oczywiście nie – ten zbiór jest dużo większy. Jednak na dzień dzisiejszy znamy jedynie 39 liczb doskonałych.

Liczbę nazywamy doskonałą, jeśli jest sumą wszystkich swoich dzielników właściwych (tzn. mniejszych od niej). Przypomnę, że dzielnik dzieli bez reszty naszą liczbę.

Przyjrzyjmy się jeszcze raz wspomnianej wyżej liczbie 6. Jest to faktycznie liczba doskonała (zarówno w rozumieniu potocznym jak i w rozumieniu wyżej wskazanej zasady), ponieważ:

6 = 1 + 2 + 3, ponieważ dzielnikami właściwymi 6 są 1, 2 i 3.

Liczba 6 jest jednocześnie najmniejszą znaną nam liczbą doskonałą.

Liczby doskonałe fascynowały ludzi od niepamiętnych czasów. Nad tą problematyką pochylali się nawet filozofowie w starożytnej Grecji m.in. Pitagoras. Sposób budowy tych liczb był dla niego i jego uczniów czymś pociągającym – podając za W. Tatarkiewiczem dopatrywano się w tym pewnego mistycyzmu z niezrozumiałych dziś powodów.

W starożytności znano tylko 4 liczby doskonałe:

6 = 1 + 2 + 3 ,

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 ,

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 ,

8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 .

Starożytni bardzo poważnie pochylali się nad tym problemem matematycznym. W IX księdze „Elementów” Euklidesa pojawiają się rozważania na temat liczb doskonałych. Zapisano to tak:

„Jeśli wziąć dowolnie dużo liczb, z których pierwsza jest jedynką, a każda następna jest dwa razy większa od poprzedniej i dodać je do siebie to, jeśli w wyniku otrzyma się liczbę pierwszą, to liczba ta pomnożona przez liczbę dwa razy większą od ostatniej w tym szeregu będzie liczbą doskonałą.”

Zwróćcie uwagę jak skomplikowanym problemem (ze względu na czas potrzebny na obliczenia) jest znalezienie kolejnych liczb doskonałych. Szóstą i siódmą liczbę doskonałą odkryto dopiero w XVII wieku naszej ery.

Problemem liczb doskonałych w XVII wieku zajęli się tacy matematycy jak Pierre De Fermat (1601 – 1665) oraz Marin Mersenne (1588 – 1648).  W XVIII wieku Leonard Euler, jeden z najwybitniejszych matematyków wszechczasów, uzyskał znaczne wyniki o liczbach doskonałych - podstawowe twierdzenie o parzystych liczbach doskonałych jest pewną równoważnością (w jedną stronę dowodził tego Euklides, a w drugą – Euler). Jak widać temat liczb doskonałych pociągał matematyków przez całe stulecia.

Największą znalezioną dotychczas liczbą doskonałą jest 2^13466916 · (2^13466917 − 1).  Może Wy znajdziecie większą?

 

System pozycyjny szesnastkowy

Do standardowych obliczeń w matematyce najczęściej używamy systemu dziesiętnego (nazywanego również systemem arabskim), gdzie podstawą jest liczba 10. W informatyce przyjęto stosowanie systemu dwójkowego. Jednak niejednokrotnie okazuje się, że zapisy przedstawione w tym systemie są długie i wyjątkowo nieczytelne. Dlatego też dzisiejszy post będzie mówił o systemie szesnastkowym  - zwanym również systemem heksadecymalnym. Jeśli budowaliście kiedykolwiek swoje własne strony, mogło Was zastanowić, co oznaczają zawiłe ciągi znaków np. FF FF FF. Postaram się to wyjaśnić.

Jak sama nazwa wskazuje podstawą w tym systemie jest liczba 16 – czyli do budowy liczb wykorzystujemy 16 cyfr. Pierwszych 10 cyfr jest identyczne jak w systemie dziesiętnym (od 0 do 9), natomiast kolejne 6 cyfr zapisujemy stosując do tego alfabet łaciński (od A do F). Zwróćcie też uwagę, że w systemie dziesiętnym 10 nie jest cyfrą a liczbą. Podobnie jest z 16 w systemie szesnastkowym.

Poniższa tabela obrazuje system szesnastkowy:

System dziesiętny	System szesnastkowy
0	0
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
10	A
11	B
12	C
13	D
14	E
15	F

 

Zauważcie proszę, że każdą cyfrę w systemie szesnastkowym możemy zapisać przy użyciu dokładnie 4 cyfr z systemu dwójkowego (binarnego) a wynika to z prostej zależności

16 = 2 · 2 · 2 · 2 = 2⁴ (2 podniesione do 4 potęgi).

 

 

Przykład zastosowań:

• Internetowe Adresy IP w wersji 6.


• Parametry układów elektronicznych.


• Adresy sprzętowe urządzeń sieciowych.


• W programowaniu system szesnastkowy sprawdza się przy zapisie dużych liczb, takich jak adresy pamięci, zakresy parametrów itp.


• Wiele programów do obróbki zdjęć i grafiki pozwala na wybór/wprowadzanie kodu koloru w formie szesnastkowej np. Photoshop oraz GIMP.


• Budując własną stronę w Internecie, kiedy chcemy ustawić konkretny kolor pewnego elementu korzystając przy okazji z palety kolorów RGB (od angielskich słów Red, Green, Blue – Czerwony, Zielony i Niebieski).  Nasycenie każdej z barw jest reprezentowane w systemie szesnastkowym, ponieważ krótki zapis pewnych liczb jest w informatyce niezwykle pożądany (choćby dla czytelności napisanego przez Was programu – pisanie stron nawet w języku HTML to forma programowania). Do reprezentacji używamy 6 cyfr z systemu szesnastkowego gdzie 000000 oznacza kolor czarny, FFFFFF – kolor biały, itd.

Przetestujcie to sami korzystając np. z tej strony (uwaga – strona jest w języku angielskim): http://www.rapidtables.com/convert/color/rgb-to-hex.htm

• W 1863 zaproponowano nowe cyfry oraz standard zapisu i pomiaru czasu (zegar) oraz lokalizacji (kompas) w systemie pozycyjnym szesnastkowym.

 

 

Sposób przeliczania systemu szesnastkowego na znany Wam system dziesiętny.

Metoda przeliczania jest identyczna jak dla innych systemów liczbowych (np. systemu dwójkowego).

Dla przykładu weźmy liczbę zapisaną w systemie szesnastkowym jako 7FF.

Podstawą jest liczba 16, więc należy mnożyć kolejne cyfry przez kolejne potęgi liczby 16. Liczenie wykładnika potęgi rozpoczynamy od strony prawej, tzn. ostatnia cyfra ma potęgę 0, przedostatnia 1, druga od końca – 2 itd.

Przypominam, że kolejne 6 cyfr zapisywane jest w alfabecie łacińskim, a więc liczba A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15.

7FF = (7 · 16²) + (15 · 16¹) + (15 · 16⁰) = 7 · 256 + 15 · 16 + 15 · 1 =

= 1792 + 240 + 15 = 2047.

Wróćmy jeszcze na chwilę do systemu dwójkowego i sposobu reprezentacji barwy zakodowanej w systemie szesnastkowym w następujący sposób 591B4A (reprezentuje kolor ciemno-fioletowy).

Zapis dwójkowy (binarny) tej liczby jest następujący: 0101 1001 0001 1011 0100 1010.

W kolejnym poście spróbuję przybliżyć Wam system ósemkowy – również powszechnie używany w informatyce niemniej jednak do innego celu.  :-)

Matematyka to królowa nauk

Dlaczego matematyka jest nazywana "Królową Nauk"? Mówiąc wprost - bez obecności matematyki nie udało by się opisać zjawisk w otaczającym nas świecie - wszystkie nauki (nie tylko ścisłe jak fizyka, chemia, biologia czy też medycyna) są powiązane z matematyką. Matematyka znajduje swoje zastosowanie choćby w muzyce. Czy udałoby się dokładnie nastroić dowolny instrument (np. fortepian) nie znając pojęcia częstotliwości? To pojęcie zostało również określone uniwersalnym językiem matematyki przez niemieckiego uczonego Heinricha Hertza.

Galileusz powiedział kiedyś - "Matematyka jest uniwersalnym językiem opisującym otaczający nas świat".

W moim blogu postaram się Wam przybliżyć zagadnienia, które poruszamy wspólnie na lekcjach a także zachęcić Was kolejnymi wpisami do pogłębiania swojej wiedzy. Nie zniechęcajcie się - w kolejnych wpisach będę prezentowała omawiane wspólnie z Wami zagadnienia używając do tego również przyjemniejszych metod (np. interaktywnych wizualizacji, prezentacji lub gier).

Dzisiejszy post kończę bardzo istotną informacją - w matematyce nie istnieją "samotne wyspy". Kolejne pojęcia, z którymi się spotkacie w dalszych etapach Waszej edukacji wywodzą się wprost z wcześniej przekazanej Wam wiedzy. Pamiętajcie o tym - Matematyka jest królową nauk i ma wobec Was swoje wymagania - a w zasadzie jedno wymaganie - jest nim systematyczna praca.