Liczby, liczby, liczby ... są doskonałe

W tym poście postaram się Wam przybliżyć temat liczb doskonałych. Otrzymując wynik celujący na klasówce z matematyki potocznie mówimy, że otrzymaliśmy 6 – doskonały wynik. Czyżby jednak zbiór liczb doskonałych zaczynał się i zamykał jednocześnie liczbą 6? Oczywiście nie – ten zbiór jest dużo większy. Jednak na dzień dzisiejszy znamy jedynie 39 liczb doskonałych.

Liczbę nazywamy doskonałą, jeśli jest sumą wszystkich swoich dzielników właściwych (tzn. mniejszych od niej). Przypomnę, że dzielnik dzieli bez reszty naszą liczbę.

Przyjrzyjmy się jeszcze raz wspomnianej wyżej liczbie 6. Jest to faktycznie liczba doskonała (zarówno w rozumieniu potocznym jak i w rozumieniu wyżej wskazanej zasady), ponieważ:

6 = 1 + 2 + 3, ponieważ dzielnikami właściwymi 6 są 1, 2 i 3.

Liczba 6 jest jednocześnie najmniejszą znaną nam liczbą doskonałą.

Liczby doskonałe fascynowały ludzi od niepamiętnych czasów. Nad tą problematyką pochylali się nawet filozofowie w starożytnej Grecji m.in. Pitagoras. Sposób budowy tych liczb był dla niego i jego uczniów czymś pociągającym – podając za W. Tatarkiewiczem dopatrywano się w tym pewnego mistycyzmu z niezrozumiałych dziś powodów.

W starożytności znano tylko 4 liczby doskonałe:

6 = 1 + 2 + 3 ,

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 ,

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 ,

8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 .

Starożytni bardzo poważnie pochylali się nad tym problemem matematycznym. W IX księdze „Elementów” Euklidesa pojawiają się rozważania na temat liczb doskonałych. Zapisano to tak:

„Jeśli wziąć dowolnie dużo liczb, z których pierwsza jest jedynką, a każda następna jest dwa razy większa od poprzedniej i dodać je do siebie to, jeśli w wyniku otrzyma się liczbę pierwszą, to liczba ta pomnożona przez liczbę dwa razy większą od ostatniej w tym szeregu będzie liczbą doskonałą.”

Zwróćcie uwagę jak skomplikowanym problemem (ze względu na czas potrzebny na obliczenia) jest znalezienie kolejnych liczb doskonałych. Szóstą i siódmą liczbę doskonałą odkryto dopiero w XVII wieku naszej ery.

Problemem liczb doskonałych w XVII wieku zajęli się tacy matematycy jak Pierre De Fermat (1601 – 1665) oraz Marin Mersenne (1588 – 1648).  W XVIII wieku Leonard Euler, jeden z najwybitniejszych matematyków wszechczasów, uzyskał znaczne wyniki o liczbach doskonałych - podstawowe twierdzenie o parzystych liczbach doskonałych jest pewną równoważnością (w jedną stronę dowodził tego Euklides, a w drugą – Euler). Jak widać temat liczb doskonałych pociągał matematyków przez całe stulecia.

Największą znalezioną dotychczas liczbą doskonałą jest 2^13466916 · (2^13466917 − 1).  Może Wy znajdziecie większą?